폴리트로픽 과정의 일과 열 heat and work of polytropic process

열역학 Thermodynamics

4. 밀폐계 시스템 Closed system

 

4.2 폴리트로픽 과정의 일과 열

heat and work of polytropic process

 

1. 폴리트로픽 과정 polytropic process

 

기체의 실제 팽창과 압축 과정에서 압력 P와 체적 V는 다음과 같은 관계가 되고 이런 과정을 폴리트로픽 과정이라고 한다. 

[1]

 

 

 

이때 n과 C는 상수이다.

 

 

폴리트로픽 과정일 때

 

 

이 성립한다.

 

 

2. 밀폐계에서 폴리트로픽 과정의 일

• 준평형 과정에서의 경계일 Wb

 

 

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 밀폐계 경계일 boundary work

[열역학 Thermodynamics/7. 엔트로피 Entropy] - 가역정상유동일 reversible steady-flow work

 

• 이상기체의 준평형 과정에서의 경계일 Wb

 

 

 

• 등온과정에서 이상기체의 준평형 과정에서의 경계일 Wb

 

 

 

 

3. 개방계에서 폴리트로픽 과정의 일

 

• 가역과정의 정상유동일 때 단위질량당 가역정상유동일 w int,rev

 

 

[열역학 Thermodynamics/7. 엔트로피 Entropy] - 가역정상유동일 reversible steady-flow work

 

 

• 이상기체의 단위질량당 가역정상유동일 Wint,rev

 

 

 

 

4. 폴리트로픽 과정의 열

 

• 밀폐계 이상기체의 준평형과정에서 

 

 

 

• 밀폐계 이상기체의 준평형과정의 폴리트로픽 비열

 

 

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 정적비열과 정압비열 constant-volume and constant-pressure specific heats

 

 

• 밀폐계 이상기체의 준평형과정의 폴리트로픽 열과 일의 관계

 

 

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 이상기체의 내부에너지, 엔탈피, 비열

 

 

 

	압축 Wb < 0	팽창 Wb > 0
n > k	흡열 Q > 0	방열 Q < 0
n < k	방열 Q < 0	흡열 Q > 0

 

 

 

 

5. 선형 P-V 관계

 

• 힘의 평형

ks : 스프링 상수 (kN/m), x : 스프링 변위 (m), 

x0 : 스프링 초기 변위값 (m), mp : 피스톤 질량 (kg), 

g : 중력가속도 (m/s2), P0 : 실린더 외부 압력 (kPa), 

P : 실린더 내부 압력 (kPa), A : 실린더 단면적 (m2)

 

 

압력 P와 부피 V가 선형 P-V 관계가 된다.

 

 

• 준평형 과정일 때

 

 

압력 P와 부피 V가 선형 P-V 관계에 있으므로

 

P-V 선도에서 Wb는 사다리꼴의 면적과 같다.

 

 

 

 

 

 

 [2]

 [1]

 

 

 

 

보론

1. 폴리트로픽 과정의 P-v, T-s 선도

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 폴리트로픽 과정의 P-v, T-s 선도 P-v T-s diagrams of a polytropic process

 

2. 이상기체일 때 폴리트로픽 과정의 P-v, T-v, P-T 관계

이상기체 방정식에서

$$Pv=RT$$

폴리트로픽 식에서

$$P{v}^n=C$$

(밀폐계인 경우 물질의 출입이 없으므로

계의 질량은 일정하므로 $P{V}^n=C$ 로도

표현 가능했음)

 

1) P-v 관계

$$P_2{v}_2^n=P_1{v}_1^n=C$$

정리하면

$$\left(\frac{P_2}{P_1}\right)={\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^n$$

 

2) T-v 관계

$$P{v}^n=C,P=v^{-n}C$$

$$Pv=RT,v^{1-n}=RT$$

$$R{T}_2=v_2^{1-n}$$

$$R{T}_1=v_1^{1-n}$$

$$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)={\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^{n-1}$$

 

3) T-P 관계 

$$P{v}^n=C,v=P^{-\frac{1}{n}}{C}^{\frac{1}{n}}$$

$$Pv=RT,P^{\frac{n-1}{n}}{C}^{\frac{1}{n}}=RT$$

$$R{T}_2=P_2^{\frac{n-1}{n}}{C}^{\frac{1}{n}}$$

$$R{T}_1=P_1^{\frac{n-1}{n}}{C}^{\frac{1}{n}}$$

$$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)={\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{\frac{n-1}{n}}$$

 

[열역학 Thermodynamics/7. 엔트로피 Entropy] - 엔트로피 변화 entropy change

 

 

 

 

---

 

[1] Cengel, Yuns A.; Boles, Michael A. (2015). Thermodynamics: an engineering approach (8th ed.). McGraw-Hill. p. 168.

[2] Claus Borgnakke; Richard E. Sonntag. (2013). Fundamentals of Thermodynamics (8th ed.). John Wiley and Sons. p. 93.