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문제

공기는 이상기체 거동을 하고(기체상수는 R), 지면(h = 0)에서의 압력은 \(P_0\) 일 때 다음의 물음에 대하여 답하시오.
(1) 공기의 온도가 높이(h)에 관계없이 \(T_0\)로 일정할 때, 높이 \(h_1\)에서의 압력을 구하시오.
(2) 공기의 온도가 \(T=T_0-ah\)로 높이에 따라 선형적으로 변할 때, 높이 \(h_1\)에서의 압력을 구하시오.

 

풀이

<가정>

1. 공기는 이상기체이다.

2. 공기는 압축성 유체이다. (비체적이 일정하지 않다.)

 

(1)

\[dP=- \rho g dh \]

\[\rho = \frac{1}{v} = \frac{P}{RT} = \frac{P}{RT_{0}} \]

\[dP= - \frac{P}{RT_{0}} g dh \]

변수 P, h를 분리하여 양변을 적분하면

\[\frac{dP}{P} = -\frac{g}{RT_{0}} dh \]

\[ \left [ln P \right ]^{P}_{P_{0}} = -\frac{g}{RT_{0}}\left [ h \right]^{h}_{h_{0}} \]

\[ ln \left ( \frac{P}{P_{0}} \right )  = -\frac{g}{RT_{0}}\left ( h- h_{0} \right ) \]

\[ \underline{P = P_{0}exp \left (-\frac{g}{RT_{0}} h \right ) }\] 

\[ \left (h_{0}=0 \right ) \]

 

 

(2)

\[dP=- \rho g dh \]

\[\rho = \frac{1}{v} = \frac{P}{RT}  \]

\[dP= - \frac{P}{RT} g dh \]

 

\(T = T_{0}-ah \) 이므로 \(dT = -adh, dh = -\frac{1}{a}dT \)

\[dP= - \frac{P}{RT} g dh = \frac{P}{RT} g \frac{1}{a}dT \]

변수 P, T를 분리하여 적분하면

\[ ln \frac{dP}{P} = \frac{g}{aR}ln \frac{dT}{T} \]

\[ \left [ln P \right ]^{P}_{P_{0}} = \frac{g}{aR}\left [ ln T \right]^{T}_{T_{0}} \]

\[ ln \left ( \frac{P}{P_{0}} \right )  = \frac{g}{aR} ln \left ( \frac{T}{T_{0}} \right ) \]

\[ ln \left ( \frac{P}{P_{0}} \right )  =  ln \left ( \frac{T}{T_{0}}  \right )^{\frac{g}{aR}} \]

\[P =P_{0} \left ( \frac{T}{T_{0}} \right )^{\frac{g}{aR}} \]

\[P =P_{0}\left ( \frac{T_{0}-ah}{T_{0}} \right )^{\frac{g}{aR}} \]

\[\underline{P =P_{0} \left ( 1- \frac{ah}{T_{0}} \right )^{\frac{g}{aR}} }\]

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