압축계수 관련 문제

 

 

 

 

질문

 

https://m.kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=113110&docId=414226564 

https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=113110&docId=414226564

 

풀이

 

우선 τ_T는 등온 압축계수 및 τ_s는 등엔트로피 압축계수로 보입니다.

\[\tau=\tau_{T}=-\frac{1}{v}\left ( \frac{\partial v}{\partial P} \right )_{T}\]

\[\tau_{s}=-\frac{1}{v}\left ( \frac{\partial v}{\partial P} \right )_{s}\]

[열역학 Thermodynamics/12. 일반관계식 Thermodynamic Relations ] - 압축계수 팽창계수 compressibility & expansion coefficient

압축계수 팽창계수 compressibility & expansion coefficient

또한 첫번째 질문에서 식은 이상기체 가정을 한 것으로 보입니다.

\[Pv=RT\]

 

첫번째 질문의 식을 살펴보면

\[v=v(P, T)\]

 

\[dv = \left ( \frac{\partial v}{\partial P} \right )_{T}dP + \left ( \frac{\partial v}{\partial T} \right )_{P}dT\]

등온과정이라면

\[ dT=0 \]

\[dv = \left ( \frac{\partial v}{\partial P} \right )_{T}dP\]

비체적과 밀도 관계에서

\[ v=\frac{1}{\rho} \]

\[ dv=-\frac{1}{\rho^{2}}d\rho \]

따라서

\[dv = -\frac{1}{\rho^{2}}d\rho = \left ( \frac{\partial v}{\partial P} \right )_{T}dP\]

\[d\rho = -\rho^{2}\left ( \frac{\partial v}{\partial P} \right )_{T}dP\]

\[d\rho = \rho \frac{-1}{v} \left ( \frac{\partial v}{\partial P} \right )_{T}dP = \rho\tau_{T}dP\]

질문의 식을 유도하면

\[\frac{d\rho}{\rho} =  \tau_{T}dP =\tau_{T}P\frac{dP}{P} \]

이상기체로 가정했으므로

\[P=\frac{RT}{v} = \rho RT \]

따라서

\[\frac{d\rho}{\rho} =  \tau_{T}P\frac{dP}{P} = \tau_{T}\rho RT \frac{dP}{P}\]

 

두번째 질문의 식을 살펴보면

우선 Tds 관계식을 이용해서 유도해 볼 수 있습니다.

[열역학 Thermodynamics/7. 엔트로피 Entropy] - T ds 관계식 Tds equation

T ds 관계식 Tds equation

\[ Tds = du + Pdv \]

\[ ds = \frac{du}{T} + \frac{P}{T}dv \]

등엔트로피 과정일때

\[ 0= ds = \frac{du}{T} + \frac{P}{T}dv \]

이상기체인 경우

\[ du = c_{v}dT \]

가 성립하므로

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 이상기체의 내부에너지, 엔탈피, 비열

이상기체의 내부에너지, 엔탈피, 비열

\[ 0= ds = \frac{c_{v}dT}{T} + \frac{P}{T}dv \]

이상기체이므로 이상기체 방정식에서

\[ Pv = RT \]

양변을 미분하면

\[ Pdv + vdP = RdT \]

양변을 Pv로 나누면

\[ \frac{dv}{v} + \frac{dP}{P} = \frac{R}{Pv}dT = \frac{dT}{T}\]

위 ds 식에 dT/T를 대입하면

\[ 0= ds = \frac{c_{v}dT}{T} + \frac{P}{T}dv = c_{v} \left( \frac{dv}{v} + \frac{dP}{P} \right) + \frac{P}{T}dv \]

이상기체므로

\[ \frac{P}{T} = \frac{R}{v} \]

\[ 0= ds = c_{v} \left( \frac{dv}{v} + \frac{dP}{P} \right) + R\frac{dv}{v} \]

엔탈피 정의에서

\[h = u + Pv \]

이상기체인 경우

\[h = u + Pv = u + RT \]

양변 미분하면

\[dh = du + RdT \]

\[dh - du = RdT \]

이상기체인 경우 정압비열, 정적비열이 아래와 같으므로

\[dh = c_{P}dT \]

\[du = c_{v}dT \]

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 이상기체의 내부에너지, 엔탈피, 비열

\[dh - du = c_{P}dT - c_{v}dT= RdT \]

정압비열, 정적비열이 일정하다고 가정하면

\[c_{P} - c_{v} = R \]

비열비를 k 라고 하면 (질문에서는 γ)

\[c_{P} / c_{v} = k  \]

위 정압비열, 정적비열의 두 식에서

\[ c_{v} = \frac{R}{k-1} \]

다시 위 ds 식에서

\[ 0= ds = c_{v} \left( \frac{dv}{v} + \frac{dP}{P} \right) + R\frac{dv}{v} \]

\[ 0= ds =\frac{R}{k-1} \left( \frac{dv}{v} + \frac{dP}{P} \right) + R\frac{dv}{v} \]

\[ 0= R\left( \frac{dv}{v} + \frac{dP}{P} \right) + R(k-1)\frac{dv}{v} \]

\[ 0= \left( \frac{dv}{v} + \frac{dP}{P} \right) + (k-1)\frac{dv}{v} \]

\[ 0= k\frac{dv}{v} + \frac{dP}{P} \]

\[ k\frac{dv}{v} =-\frac{dP}{P} \]

\[ \left( \frac{dv}{dP}\right) = -\frac{v}{kP} \]

등엔트로피 과정으로 유도했으므로

\[ \left( \frac{\partial v}{\partial P}\right)_{s} = -\frac{v}{kP} \]

\[ -\frac{1}{v} \left( \frac{\partial v}{\partial P} \right)_{s} = \frac{1}{kP} \]

\[ -\frac{1}{v} \left( \frac{\partial v}{\partial P} \right)_{s} =\tau_{s}= \frac{1}{kP} \]