압축계수 관련 문제

 

 

 

 

질문

 

https://m.kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=113110&docId=414226564 

https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=113110&docId=414226564

 

풀이

 

우선 τ_T는 등온 압축계수 및 τ_s는 등엔트로피 압축계수로 보입니다.

$$\tau ={\tau }_T=-\frac{1}{v}{\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_T$$

$${\tau }_s=-\frac{1}{v}{\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_s$$

[열역학 Thermodynamics/12. 일반관계식 Thermodynamic Relations ] - 압축계수 팽창계수 compressibility & expansion coefficient

압축계수 팽창계수 compressibility & expansion coefficient

또한 첫번째 질문에서 식은 이상기체 가정을 한 것으로 보입니다.

$$Pv=RT$$

 

첫번째 질문의 식을 살펴보면

$$v=v(P,T)$$

 

$$dv={\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_{T}dP+{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_{P}dT$$

등온과정이라면

$$dT=0$$

$$dv={\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_{T}dP$$

비체적과 밀도 관계에서

$$v=\frac{1}{\rho }$$

$$dv=-\frac{1}{{\rho }^2}d\rho$$

따라서

$$dv=-\frac{1}{{\rho }^2}d\rho ={\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_{T}dP$$

$$d\rho =-{\rho }^2{\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_{T}dP$$

$$d\rho =\rho \frac{-1}{v}{\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_{T}dP=\rho {\tau }_{T}dP$$

질문의 식을 유도하면

$$\frac{d\rho }{\rho }={\tau }_{T}dP={\tau }_{T}P\frac{dP}{P}$$

이상기체로 가정했으므로

$$P=\frac{RT}{v}=\rho RT$$

따라서

$$\frac{d\rho }{\rho }={\tau }_{T}P\frac{dP}{P}={\tau }_T\rho RT\frac{dP}{P}$$

 

두번째 질문의 식을 살펴보면

우선 Tds 관계식을 이용해서 유도해 볼 수 있습니다.

[열역학 Thermodynamics/7. 엔트로피 Entropy] - T ds 관계식 Tds equation

T ds 관계식 Tds equation

$$Tds=du+Pdv$$

$$ds=\frac{du}{T}+\frac{P}{T}dv$$

등엔트로피 과정일때

$$0=ds=\frac{du}{T}+\frac{P}{T}dv$$

이상기체인 경우

$$du=c_{v}dT$$

가 성립하므로

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 이상기체의 내부에너지, 엔탈피, 비열

이상기체의 내부에너지, 엔탈피, 비열

$$0=ds=\frac{c_{v}dT}{T}+\frac{P}{T}dv$$

이상기체이므로 이상기체 방정식에서

$$Pv=RT$$

양변을 미분하면

$$Pdv+vdP=RdT$$

양변을 Pv로 나누면

$$\frac{dv}{v}+\frac{dP}{P}=\frac{R}{Pv}dT=\frac{dT}{T}$$

위 ds 식에 dT/T를 대입하면

$$0=ds=\frac{c_{v}dT}{T}+\frac{P}{T}dv=c_v(\frac{dv}{v}+\frac{dP}{P})+\frac{P}{T}dv$$

이상기체므로

$$\frac{P}{T}=\frac{R}{v}$$

$$0=ds=c_v(\frac{dv}{v}+\frac{dP}{P})+R\frac{dv}{v}$$

엔탈피 정의에서

$$h=u+Pv$$

이상기체인 경우

$$h=u+Pv=u+RT$$

양변 미분하면

$$dh=du+RdT$$

$$dh-du=RdT$$

이상기체인 경우 정압비열, 정적비열이 아래와 같으므로

$$dh=c_{P}dT$$

$$du=c_{v}dT$$

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 이상기체의 내부에너지, 엔탈피, 비열

$$dh-du=c_{P}dT-c_{v}dT=RdT$$

정압비열, 정적비열이 일정하다고 가정하면

$$c_P-c_v=R$$

비열비를 k 라고 하면 (질문에서는 γ)

$$c_P/c_v=k$$

위 정압비열, 정적비열의 두 식에서

$$c_v=\frac{R}{k-1}$$

다시 위 ds 식에서

$$0=ds=c_v(\frac{dv}{v}+\frac{dP}{P})+R\frac{dv}{v}$$

$$0=ds=\frac{R}{k-1}(\frac{dv}{v}+\frac{dP}{P})+R\frac{dv}{v}$$

$$0=R(\frac{dv}{v}+\frac{dP}{P})+R(k-1)\frac{dv}{v}$$

$$0=(\frac{dv}{v}+\frac{dP}{P})+(k-1)\frac{dv}{v}$$

$$0=k\frac{dv}{v}+\frac{dP}{P}$$

$$k\frac{dv}{v}=-\frac{dP}{P}$$

$$\left(\frac{dv}{dP}\right)=-\frac{v}{kP}$$

등엔트로피 과정으로 유도했으므로

$${\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_s=-\frac{v}{kP}$$

$$-\frac{1}{v}{\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_s=\frac{1}{kP}$$

$$-\frac{1}{v}{\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_s={\tau }_s=\frac{1}{kP}$$