개방계 열역학 제1법칙 the first law of thermodynamics for open system

 

 

개방계 열역학 제1법칙 the first law of thermodynamics for open system

 

 

1. 정상유동 과정 steady-flow process

steady : 특성, 속도, 온도 등의 변화가 없음을 의미

정상유동 과정은 검사체적(control volume)을 통과하는 동안 유체가 steady 한 과정을 의미

 

 

2. 정상유동 과정에서 필요한 거정

1)  검사제적의 상태량(강성적, 종량적)은 일정하게 유지된다.

\[\frac{d\left ( \right )}{dt}=0\]

예) \( \frac{dV_{CV}}{dt}=0 \), \( \frac{dm_{CV}}{dt}=0 \), \( \frac{dE_{CV}}{dt}=0 \), \( \frac{dS_{CV}}{dt}=0 \)

 

2) 입구나 출구의 유체 상태량은 일정하게 유지된다.

예) 과정동안 \( \dot{m}_{in} \) 일정, \( \dot{m}_{out} \) 일정, \( \theta_{in} \) 일정, \( \theta_{out} \) 일정

 

3) 계와 주위 사이의 열전달률과 동력은 일정하게 유지된다.

예) \(\dot{Q}\) 일정, \(\dot{W}\) 일정

 

 

3. 개방계 열역학 제1법칙

\[0=\frac{dE_{sys}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}\]

\[\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W} +\sum_{in}\dot{m}_{in} \left ( h+\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{in}-\sum_{out}\dot{m}_{out} \left ( h +\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{out} \]

 

정상유동일 때

\[0=\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W} +\sum_{in}\dot{m}_{in} \left ( h+\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{in}-\sum_{out}\dot{m}_{out} \left ( h +\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{out} \]

 

\[w_{flow}=Pv\]

 

 

4. 보론

\[0=\frac{dE_{sys}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}\]

 

레이놀즈 수송정리 RTT 에서

[열역학 Thermodynamics/5. 검사체적의 질량과 에너지 해석] - 레이놀즈 수송정리 Reynolds Transport Theorem (RTT)

레이놀즈 수송정리 Reynolds Transport Theorem (RTT)

 

B=E 인 경우, b=e

\[\frac{dE_{sys}}{dt}=\frac{dE_{CV}}{dt}+\dot{E}_{out}-\dot{E}_{in}\]

\[=\frac{d}{dt} \int_{CV}^{} \rho e dV+\int_{CS}^{}e\rho\vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}(dA)\]

\[\frac{dE_{CV}}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{CV}^{} \rho e dV\]

 

\[ \dot{W} = \dot{W}_{shaft} + \dot{W}_{pressure} + \dot{W}_{viscous} + \dot{W}_{other} \]

\( \dot{W}_{shaft} \) : 축일(검사체적 안의 일)

\( \dot{W}_{pressure} \) : 검사면에 작용하는 압력에 의한 일

\( \dot{W}_{viscous} \) : 검사면에 작용하는 점성력에 의한 일(대체로 무시)

\( \dot{W}_{other} \) : 기타일(대체로 무시)

 [1]

 

\[\delta\dot{W}_{pressure} = \delta\dot{W}_{boundary} = -PdAV_{n}\]

\[\delta\dot{W}_{pressure, in} =  -PdA\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )\]

\[\dot{W}_{pressure, in} = - \int_{A}P \left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA = - \int_{A} \frac{P}{\rho}\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA\]

(벡터 n과 P가 반대 방향)

\[\delta\dot{W}_{pressure, out} = PdA\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )\]

\[\dot{W}_{pressure, out} = \int_{A}P \left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA = \int_{A} \frac{P}{\rho}\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA\]

(벡터 n과 P가 같은 방향)

\[\dot{W}_{pressure} = \dot{W}_{pressure, out} - \dot{W}_{pressure, in} = \int_{CS} \frac{P}{\rho}\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA\]

 

\[ \dot{W} = \dot{W}_{shaft} + \dot{W}_{pressure} = \dot{W}_{shaft} + \int_{CS} \frac{P}{\rho}\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA\]

 

\[\frac{dE_{sys}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}\]

\[=\dot{Q}-\dot{W}_{shaft}-\dot{W}_{pressure} \]

\[=\dot{Q}-\dot{W}_{shaft}-\int_{CS} \frac{P}{\rho}\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA \]

\[=\frac{d}{dt} \int_{CV}^{} \rho e dV+\int_{CS}^{}e\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA\]

\[=\frac{dE_{CV}}{dt}+\int_{CS}^{}e\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA\]

 

\[\dot{Q}-\dot{W}_{shaft}-\int_{CS} \frac{P}{\rho}\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA \]

\[=\frac{dE_{CV}}{dt}+\int_{CS}^{}e\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA\]

 

\[\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}_{shaft}-\int_{CS}^{}e\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA-\int_{CS} \frac{P}{\rho}\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot\vec{n}\right )dA\]

\[=\dot{Q}-\dot{W}_{shaft}-\int_{CS}^{}\left (e + \frac{P}{\rho} \right )\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA\]

 

\[\frac{1}{\rho} = v\]

 

\[\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}_{shaft}-\int_{CS}^{}\left (e + Pv \right )\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA\]

\[e = u + \frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz\]

\[h = u + Pv\]

\[e + Pv = u + Pv + \frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz = h + \frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz\]

 

 

\[\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}_{shaft} - \int_{CS}^{}\left (h +\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz  \right )\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA\]

 

\[\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}_{shaft} +\sum_{in}\dot{m}_{in} \left ( h+\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{in}-\sum_{out}\dot{m}_{out} \left ( h +\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{out} \]

정상유동일때

\[0=\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}_{shaft} +\sum_{in}\dot{m}_{in} \left ( h+\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{in}-\sum_{out}\dot{m}_{out} \left ( h +\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{out} \]

 

위의 식에서

\(\dot{W}_{shaft}\) 축일 만 되는 것이 아니라 검사체적(control volume) 안의 일인 경우는 다 포함이 된다.

따라서 아래와 같이 표현 가능하다.

\[0=\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}_{CV} +\sum_{in}\dot{m}_{in} \left ( h+\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{in}-\sum_{out}\dot{m}_{out} \left ( h +\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{out} \]

일반적으로 검사체적(contol volume) 안의 일만 고려하므로 더 간단히 아래와 같이 표현 가능하다.

\[0=\frac{dE_{CV}}{dt}=\dot{Q}-\dot{W} +\sum_{in}\dot{m}_{in} \left ( h+\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{in}-\sum_{out}\dot{m}_{out} \left ( h +\frac{\widetilde{V}^{2}}{2}+gz \right )_{out} \]

 

 

\[w_{flow}=Pv\]

(단위질량당) 유동일은 유체를 검사체적 안으로 밀어 넣거나 검사체적 밖으로 밀어내눈데 필요한 에너지이며 Pv와 같다.

위 개방계 열역학 제1법칙의 유도과정 중 검사면에 작용하는 일

\[\int_{CS}^{}\left (\frac{P}{\rho} \right )\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA\]

을 살펴보면

\[\left (\frac{P}{\rho} \right )\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA=Pv\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA\]

\[=Pv\rho\frac{dV}{dt} = Pv\frac{dm}{dt} = Pv\dot{m}\]

 

\[-\int_{CS}^{}\left (\frac{P}{\rho} \right )\rho\left ( \vec{\widetilde{V}}\cdot \vec{n}\right ) dA=\sum_{in}\dot{m}_{in} \left ( Pv \right )_{in}-\sum_{out}\dot{m}_{out} \left ( Pv \right )_{out} \]

에서 \(w_{flow}=Pv\) 임을 알 수 있다.

 

[열역학 Thermodynamics/5. 검사체적의 질량과 에너지 해석] - 질량유량 및 체적유량 Mass and Volume Flow Rate

질량유량 및 체적유량 Mass and Volume Flow Rate

 

 

5. 엔탈피 사용의 장점

1) 내부에너지 대신 엔탈피를 사용(총 에너지 대신 총 엔탈피 사용)하여 유동 유체의 에너지를 나타내면 유동일은 따로 고려할 필요가 없다.

2) 유출입 유체와 관련한 에너지는 엔탈피에 의해 자동적으로 처리된다.

3) 이것이 엔탈피를 상태량으로 정의하는 주된 이유이다.

4) 밀폐계 준평형 정압과정에서는 엔탈피 차이가 열전달과 같다.(정압비열의 정의)

 - 위치에너지 변화량, 운동에너지 변화량 무시할 때

 밀폐계 열역학 제1법칙에서

\[dE = dU + dKE + dPE = dU = \delta Q - \delta W\]

\[dU = \delta Q - PdV\]

\[ dH = \delta Q\]

 

 

 

[열역학 Thermodynamics/4. 밀폐계 Closed System] - 밀폐계 열역학 제1법칙 the first law of thermodynamics for closed system

밀폐계 열역학 제1법칙 the first law of thermodynamics for closed system

 

 

 

 

 

 

 

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[1] Cengel, Yuns A.; Boles, Michael A. (2015). Thermodynamics: an engineering approach (8th ed.). McGraw-Hill. p. 248.