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질문

개방계 시스템 터빈/압축기 일과 엔탈피 관계

https://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1Id=11&dirId=1114&docId=390063539 

https://m.kin.naver.com/mobile/qna/detail.nhn?d1Id=11&dirId=1114&docId=390063539 

터빈이나 압축기 등 정상유동에서,
터빈에서는 출력 일이,
압축기에서 요구되는 일이,
입구조건과 출구조건의 엔탈피 차이라고 배웠습니다.
(포텐셜, 운동에너지 무시할 때)

이런 유동에서 엔탈피 차이=일 이 되려면 ‘등엔트로피’과정이여야 성립이 된다고 하는데,
등엔트로피 과정이 아님에도 출력일이나 입력일을 엔탈피 차이로 구할 수 있는 이유가 무엇인지 궁금합니다.

터빈이나 압축기에서 작동유체가 단열로 작동하기 때문에 가능한 것일까요? 단열과정이라도 등엔트로피과정이 아니지 않나요?

 

풀이

개방계인 경우 엔트로피 평형식은 아래와 같습니다.

\[\frac{dS}{dt}=\int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}}+\sum\dot{m_i}s_i-\sum\dot{m_e}s_e+\dot{S}_{gen}\]

개방계 정상유동인 경우

\[0=\frac{dS}{dt}=\int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}}+\sum\dot{m_i}s_i-\sum\dot{m_e}s_e+\dot{S}_{gen}\]

개방계 정상유동의 등엔트로피 과정인 경우

\[0=\frac{dS}{dt}=\int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}}+\sum\dot{m_i}s_i-\sum\dot{m_e}s_e+\dot{S}_{gen}\]

\[\sum\dot{m_i}s_i = \sum\dot{m_e}s_e\]

\[0=\frac{dS}{dt}=\int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}}+\dot{S}_{gen}\]

\[\therefore \dot{S}_{gen}=-\int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}}\]

위 식은 아래식과 동치는 아닙니다.

\[\dot{S}_{gen}=0 \ \& \int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}} = 0\]

다시 말하면

개방계 정상유동의 등엔트로피 과정이더라도 위 식과 같이 가역 & 단열 과정이 된다는 의미는 아닙니다.

 

래식과 같이 엔트로피 생성량만큼 열방출에 의한 엔트로피 감소량이 생긴다면

등엔트로피 과정이 될 수 있습니다. [1]

\[\dot{S}_{gen}=-\int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}}\]

개방계 정상유동인 경우

등엔트로피 과정은 가역 & 단열과정의 필요조건이며 충분조건은 아닙니다.

(뒤에 보이겠지만 가역 & 단열과정은 등엔트로피 과정의 충분조건입니다.)

그러나 열역학에서 등엔트로피 과정은 관습적으로 가역 & 단열 과정을 의미합니다. [1][2]

 

개방계 정상유동의 가역 & 단열과정인 경우

\[0=\frac{dS}{dt}=\int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}}+\sum\dot{m_i}s_i-\sum\dot{m_e}s_e+\dot{S}_{gen}\]

\[\dot{S}_{gen}=0 \ \& \int{\frac{\delta \dot{Q}}{T}}=0\]

\[0=\frac{dS}{dt}=\sum\dot{m_i}s_i-\sum\dot{m_e}s_e\]

\[\sum\dot{m_i}s_i=\sum\dot{m_e}s_e\]

등엔트로피 과정이 됩니다.

따라서 개방계 정상유동인 경우

가역단열 과정은 등엔트로피과정의 충분조건이 됩니다.

 

다시 질문으로 돌아와서

개방계 정상유동의 등엔트로피 과정은 (열역학에서 관습적으로) 가역단열과정이므로

개방계 정상유동의 에너지보존법칙(열역학 제1법칙)에 의해서

\[0=\frac{dE}{dt}={\dot{Q}}-\dot{W} + \sum\dot{m_i}\left (h_i+pe_i+ke_i \right )-\sum\dot{m_e}\left (h_e+pe_e+ke_e \right )\]

\[\dot{Q}=0\]

\[0=-\dot{W} + \sum\dot{m_i}\left (h_i+pe_i+ke_i \right )-\sum\dot{m_e}\left (h_e+pe_e+ke_e \right )\]

위치에너지와 운동에너지를 무시한다면

\[0=-\dot{W} + \sum\dot{m_i} h_i-\sum\dot{m_e}h_e\]

\[\dot{W}= \sum\dot{m_i} h_i-\sum\dot{m_e}h_e\]

단일입구, 단일출구라면

\[\dot{W}= \dot{m_i} h_i-\dot{m_e}h_e\]

질량보존법칙에 의해

\[\frac{dm}{dt}=\dot{m_i}-\dot{m_e}\]

https://syssurr.tistory.com/319

 

레이놀즈 수송정리 Reynolds Transport Theorem (RTT)

레이놀즈 수송정리 Reynolds Transport Theorem (RTT) [1][2] B를 질량, 에너지, 모멘텀과 같은 종량적 상태량 extensive property라고 하고 b를 b=B/m 으로 B의 강성적 상태량 intensive property라고 하자..

syssurr.tistory.com

 

정상유동이므로

\[0=\frac{dm}{dt}=\dot{m_i}-\dot{m_e}\]

\[\dot{m_i}=\dot{m_e}=\dot{m}\]

단위질량당 일, 단위질량당 엔탈피를 고려하면

\[\dot{W}=\dot{m}w\]

\[\dot{W}= \dot{m}w=\dot{m_i} h_i-\dot{m_e}h_e =\dot{m} h_i-\dot{m}h_e\]

\[w=h_i-h_e\]

단위질량당 일은 단위질량당 유입 & 유출 엔탈피의 차이가 됩니다.

 

요약하자면

개방계 정상유동의 등엔트로피 과정은 (열역학에서 관습적으로) 가역단열과정이다.


[1] Cengel, Yuns A.; Boles, Michael A. (2015). Thermodynamics: an engineering approach (8th ed.). McGraw-Hill. p. 341.

It should be recognized that a reversible adiabatic process is necessarily isentropic (s2 = s1), but an isentropic process is not necessarily a reversible adiabatic process. (The entropy increase of a substance during a process as a result of irreversibilities may be offset by a decrease in entropy as a result of heat losses, for example.) However, the term isentropic process is customarily used in thermodynamics to imply an internally reversible, adiabatic process.

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Isentropic_process

In thermodynamics, an isentropic process is an idealized thermodynamic process that is both adiabatic and reversible.

 

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