압축계수 팽창계수 관련 문제
질문
사진에서 엔탈피 변화량 식이
V(1-열팽창계수xT)dP라고 나와있는데 공식인건가요?
아니라면 이 식이 왜 나온건지 궁금합니다
https://m.kin.naver.com/mobile/qna/detail.naver?d1Id=11&dirId=1115&docId=416776306
풀이
해설의 엔탈피 변화량의 식은 열팽창계수 \(\beta\) (질문풀이에서는 \(\alpha\)로 표기) 를 이용해서 유도된 식입니다.
우선 열팽창계수 \(\beta\) (질문풀이에서는 \(\alpha\)로 표기)는 아래와 같이 정의 됩니다.
\[ \beta = \frac{1}{v}\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_{P} \]
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Tds 관계식에서
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\[ Tds = dh - vdP \]
\[ dh = Tds + vdP \]
위의 열팽창 계수 정의식에서
\[ \beta = \frac{1}{v}\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_{P} \]
맥스웰 관계식을 이용하면
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\[ \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_{P}=- \left(\frac{\partial s}{\partial P} \right)_{T} \]
이므로
\[ \beta = \frac{1}{v} \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_{P} =- \frac{1}{v} \left( \frac{\partial s}{\partial P} \right)_{T} \]
T가 일정할 때
\[ ds = -v \beta dP \]
\[ Tds = -Tv \beta dP \]
위 Tds 관계식 변형에 대입하면
\[ dh = Tds + vdP = -Tv \beta dP + vdP \]
\[ dh = v \left(1 -T \beta \right) dP \]
\[ \Delta h = v \left( 1-T \beta \right) \left( P_{2} - P_{1} \right) \]
(질문풀이에서는 \(\beta\)를 \(\alpha\)로 표기)
