문제
높이 2m인 실린더 바닥에 구명이 나 있다. 실린더 내에 1m 높이 까지는 물이 차 있고, 그 위에는 압력 100 kPa의 공기가 들어 있다. 바닥의 구멍 근처의 물의 압력 은 100 kPa 보다 높으므로 물이 빠져 나간다. 일정한 온도의 느린 과정 이라고 가정할 때 물의 흐름은 언제 정지하겠는가?.
풀이
<가정>
1. 공기는 밀폐계이다.
2. 공기는 이상기체이다.
3. 일정한 온도의 느린 과정이다.
4. 처음에 바닥의 구멍 근처의 압력이 100 kPa 보다 높으나
나중에 100 kPa에 도달하면 물이 빠져나가는 것이 멈춘다.(외부 공기는 100 kPa 이다.)
5. 물의 밀도는 일정하다.(비압축성 유체이므로)
공기는 밀폐계 이상기체이므로
밀폐계 열역학 제1법칙(미분형)에서
\[du = \delta q - \delta w \]
이상기체이므로 \(du = c_{v}dT\)
여기서
단열(\(\delta q = 0 \))이라는 조건도 없고 실린더의 단면적도 주어지지 않았으므로
더 이상 진전이 되지 않을 수 있습니다.
그러나 일정한 온도의 느린 과정(=등온과정)이라는 결정적인 조건이 주어졌으므로
\[dT = 0 \]
\[du = c_{v}dT = 0 \]
\[0 = du = \delta q - \delta w\]
이 되고 \(\delta q\) 및 \(\delta w\)는 이 문제에서 전혀 고려대상이 되지 않습니다.
다시 가정으로 돌아와서
공기는 이상기체이므로 이상기체 방정식에서
\(P_{a1}V_{a1} = m_{a}RT_{a}\) , \( \left (P_{a1} = 100 kPa \right ) \)
\(P_{a2}V_{a2} = m_{a}RT_{a}\)
\[P_{a2} = P_{a1} \frac{V_{a1}}{V_{a2}} = P_{a1}\frac{A\cdot 1}{A\left (1+h \right )} = P_{a1}\frac{1}{1+h } \]
(A는 실린더 단면적)
물이 빠져 나가는 것이 멈출 때의 바닥 구멍 근처의 압력 \(P_{w2} = 100 kPa \)는
\[P_{w2} = \rho g \left (1 - h \right ) + P_{a2} = \rho g \left (1 - h \right ) + P_{a1}\frac{1}{1+h }\]
\[100\left [kPa \right ] = 1000 \left [\frac{kg}{m^3} \right ] 9.81\left [ \frac{m}{s^2} \right ] \left (1 - h \right ) \left [ m \right ] \left [ \frac {1 kPa}{1000 kg \frac{m}{s^2}m} \right ] + 100 \left [ kPa \right] \frac{1}{1+h} \]
\[h = 0.097174 m \]
수면의 높이가 \(0.097174 m \) 만큼 내려가면 물의 흐름이 멈춘다.